Uppgift 5

a) Den karakteristiska ekvationen till den homogena differentialekvationen har rötterna $r_{1,2}=-1\pm2i$. Alltså är

$$y_{\mathrm{hom}}(x)=e^{-x}(A\cos2x+B\sin2x).$$

För en partikulärlösning gör vi ansatsen $y_p(x)=ax+b$. Insättning och jämförelse av koefficienter ger $a=\frac15$ och $b=-\frac2{25}$. Därför är

$$y(x)=e^{-x}(A\cos2x+B\sin2x)+\frac15x-\frac2{25}.$$

b) Vi skriver ekvationen som

$$y'-\frac4x y=3.$$

En integrerande faktor är

$$e^{\int-4/x\,dx}=\frac1{x^4}.$$

Därmed får vi

$$\left(\frac{y}{x^4}\right)'=\frac3{x^4},\qquad \frac{y}{x^4}=-\frac1{x^3}+C.$$

Villkoret $y(1)=0$ ger $C=1$. Alltså är lösningen

$$y(x)=-x+x^4.$$