Hela analys · 2014-08-22
Ange för vart och ett av de följande påståendena om det är sant eller ej. Endast motiverade svar kan ge poäng! OBS: Ingen av frågorna kräver någon omfattande beräkning!
$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{t}{t^2+1}\,dt=0$.
Om en funktion $f$ har derivatan
$$f'(x)=x\left(x^2+e^{x^2\sin x}\right)$$
så är $x=0$ en lokal minimipunkt för $f$.
$\arcsin\frac45-\arcsin\frac{12}{13}=\arccos\frac{63}{65}$.
a) Påståendet är falskt. Den generaliserade integralen
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{t}{t^2+1}\,dt$$
är inte konvergent och kan därför inte vara lika med $0$. Däremot gäller
$$\int_{-B}^{B}\frac{t}{t^2+1}\,dt=0$$
för varje reellt $B$, eftersom integranden är udda och intervallet symmetriskt kring origo.
b) Påståendet är sant. Eftersom
$$f'(x)=x\left(x^2+e^{x^2\sin x}\right),$$
är $f'(x)<0$ för $x<0$ och $f'(x)>0$ för $x>0$. Derivatan byter alltså tecken från negativt till positivt i $x=0$, som därför är en lokal minimipunkt.
c) Påståendet är falskt. Vänsterledet
$$\arcsin\frac45-\arcsin\frac{12}{13}$$
är negativt, eftersom arcsinus är växande och $\frac45<\frac{12}{13}$. Högerledet $\arccos\frac{63}{65}$ är däremot positivt.