Uppgift 1

Vi har

$$f'(x)=2e^{2x}-e^x=e^x(2e^x-1).$$

Alltså är $f'(x)=0$ då $e^x=\frac12$, det vill säga då $x=-\ln2$. Vidare är

$$f''(x)=4e^{2x}-e^x=e^x(4e^x-1),$$

så $f''(x)=0$ då $x=-\ln4$. Teckenstudiet visar att $f$ är avtagande för $x< -\ln2$ och växande för $x> -\ln2$. Funktionen har därför ett lokalt minimum, som också är dess globala minimum, i $x=-\ln2$. Värdet är

$$f(-\ln2)=e^{-2\ln2}-e^{-\ln2}=2^{-2}-2^{-1}=-\frac14.$$

Det finns inget lokalt maximum. Funktionen är konkav för $x\le-\ln4$ och konvex för $x\ge-\ln4$.

Eftersom $f$ är kontinuerlig överallt har den inga lodräta asymptoter. Dessutom är

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=0,$$

så $y=0$ är en vågrät asymptot då $x\to-\infty$. Slutligen är

$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x(e^x-1)}x=\infty,$$

så någon sned asymptot finns inte då $x\to\infty$.