Hela analys · 2015-01-12
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y''+6y'+9y=e^x$.
Bestäm den lösning till differentialekvationen $xy'=y^2$ som satisfierar villkoret $y(1)=1$. Bestäm också det största intervallet (i $x$-led) kring punkten $x=1$ i vilket den sökta lösningen existerar.
a) Den karakteristiska ekvationen
$$r^2+6r+9=0$$
har dubbelroten $r_{1,2}=-3$. Alltså är den homogena lösningen
$$y_h=(C_1x+C_2)e^{-3x}.$$
Med ansatsen $y_p=Ae^x$ får vi $y_p'=y_p''=Ae^x$ och därmed
$$y_p''+6y_p'+9y_p=16Ae^x=e^x.$$
Alltså är $A=\frac1{16}$ och
$$y=(C_1x+C_2)e^{-3x}+\frac1{16}e^x.$$
b) Den uppenbara lösningen $y=0$ uppfyller inte villkoret $y(1)=1$. För $y\ne0$ ger separation av variablerna
$$\frac{y'}{y^2}=\frac1x,\qquad \frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x}.$$
Efter integration får vi
$$-\frac1y=\ln\lvert x\rvert+C.$$
Villkoret $y(1)=1$ ger $C=-1$. I ett intervall kring $x=1$ är $x>0$, så
$$-\frac1y=\ln x-1,\qquad y=\frac1{1-\ln x}.$$
Lösningen upphör att existera vid $x=0$ och då $\ln x=1$. Det största intervallet kring $x=1$ där lösningen existerar är alltså
$$0<x<e.$$