Uppgift 5

I polära koordinater svarar $x^2+y^2\le4$ mot $0\le r\le2$, medan $y\ge x$ och $y\ge0$ svarar mot $\frac\pi4\le\theta\le\pi$. Sätt alltså

$$E=\left\{(r,\theta):0\le r\le2,\ \frac\pi4\le\theta\le\pi\right\}.$$

Då blir integralen

$$\begin{aligned}\iint_D\frac{x^2+y^2}{1+(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy&=\iint_E\frac{r^3}{1+r^4}\,dr\,d\theta\\&=\frac{3\pi}{4}\int_0^2\frac{r^3}{1+r^4}\,dr\\&=\frac{3\pi}{16}\int_1^{17}\frac{du}{u}\\&=\frac{3\pi\ln17}{16},\end{aligned}$$

där $u=1+r^4$.