Uppgift 6
Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x,y)=x^2+y-2xy$ i triangeln med hörn i punkterna $(0,0)$, $(2,0)$ och $(0,2)$.
Hela analys · 2015-01-12
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
Triangeln begränsas av linjerna $x=0$, $y=0$ och $x+y=2$. De partiella derivatorna är
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-2y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=1-2x.$$
De är båda noll i den enda stationära punkten
$$(x,y)=\left(\frac12,\frac12\right),$$
som ligger i triangelns inre. Där är $f(\frac12,\frac12)=\frac14$.
På randens hörn får vi
$$f(0,0)=0,\qquad f(2,0)=4,\qquad f(0,2)=2.$$
På sidan $y=0$ är $h_1(t)=f(t,0)=t^2$, och på sidan $x=0$ är $h_2(t)=f(0,t)=t$; inga ytterligare randkritiska punkter uppstår där. På den sista sidan är
$$h_3(t)=f(t,2-t)=3t^2-5t+2.$$
Här är $h_3'(t)=6t-5$, vilket är noll då $t=\frac56$. Motsvarande värde är
$$h_3\left(\frac56\right)=f\left(\frac56,\frac76\right)=-\frac1{12}.$$
De värden som ska jämföras är $\frac14$, $0$, $4$, $2$ och $-\frac1{12}$. Alltså är funktionens största värde $4$ och dess minsta värde $-\frac1{12}$.