Uppgift 2

a) Maclaurinutvecklingarna ger
$$ \sin x=x-\frac16x^3+O(x^5),\qquad \sin(2x)=2x-\frac43x^3+O(x^5). $$
Därmed är
$$ \sin(2x)-2\sin x=-x^3+O(x^5),\qquad x^2\ln(1+x)=x^3+O(x^4). $$
Alltså
$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)-2\sin x}{x^2\ln(1+x)}=-1. $$

b) Vi använder Maclaurinutvecklingarna
$$ e^{-2x}=1-2x+2x^2-\frac43x^3+O(x^4),\qquad \arctan x=x-\frac13x^3+O(x^5). $$
För den givna funktionen fås då
$$ \begin{aligned} f(x)&=(e^{-2x}-1)\arctan x+2x^2-2x^3\\ &=-\frac23x^4+O(x^5)=x^4\left(-\frac23+O(x)\right). \end{aligned} $$
För $x\ne0$ tillräckligt nära origo är detta negativt, medan $f(0)=0$. Alltså har $f$ ett lokalt maximum i origo.