Uppgift 3
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $y'=x(1+y^2)$ som satisfierar villkoret $y(0)=1$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $(1+x^2)y'+4xy=x$ som satisfierar villkoret $y(0)=1$.
Hela analys · 2015-06-12
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
a) Ekvationen kan skrivas
$$
\frac{y'}{1+y^2}=x.
$$
Integration ger
$$
\arctan y=\frac12x^2+C.
$$
Villkoret $y(0)=1$ ger $C=\arctan1=\frac\pi4$. Lösningen är alltså
$$
y=\tan\left(\frac12x^2+\frac\pi4\right).
$$
b) Efter division med $1+x^2$ får vi
$$
y'+\frac{4x}{1+x^2}y=\frac{x}{1+x^2}.
$$
En integrerande faktor är
$$
\exp\left(\int\frac{4x}{1+x^2}\,dx\right)=(1+x^2)^2.
$$
Alltså gäller
$$
\bigl((1+x^2)^2y\bigr)'=x+x^3.
$$
Efter integration och användning av $y(0)=1$ fås
$$
(1+x^2)^2y=\frac12x^2+\frac14x^4+1,
$$
och därmed
$$
y=\frac{\frac12x^2+\frac14x^4+1}{(1+x^2)^2}.
$$