Uppgift 5
Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ i kvadraten med hörn i punkterna $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,2)$ och $(2,2)$.
Hela analys · 2015-06-12
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
De stationära punkterna uppfyller
$$
f_x=3x^2-3y=0,\qquad f_y=3y^2-3x=0.
$$
Alltså är $y=x^2$ och $x=y^2$, vilket ger punkterna $(0,0)$ och $(1,1)$. Punkten $(0,0)$ ligger på randen, medan
$$
f(1,1)=-1.
$$
På kvadratens hörn fås värdena
$$
f(0,0)=0,\qquad f(2,0)=f(0,2)=8,\qquad f(2,2)=4.
$$
På sidorna $x=0$ och $y=0$ fås endast funktionen $t^3$. På sidan $y=2$ blir
$$
h(t)=f(t,2)=t^3-6t+8,\qquad 0\leq t\leq2,
$$
och $h'(t)=3t^2-6$. Den relevanta inre kritiska punkten är $t=\sqrt2$, och
$$
h(\sqrt2)=8-4\sqrt2.
$$
Sidan $x=2$ ger samma värden. Jämförelse av $-1$, $0$, $4$, $8$ och $8-4\sqrt2$ visar att funktionens största värde är $8$ och dess minsta värde är $-1$.