Uppgift 6
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D\frac{dx\,dy}{1+x^2}$, där $D$ är triangeln med hörn i punkterna $(1,0)$, $(0,1)$ och $(0,0)$.
Hela analys · 2015-06-12
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
Triangeln kan beskrivas som
$$
D=\{(x,y):0\leq x\leq1, 0\leq y\leq1-x\}.
$$
Därför
$$
\begin{aligned}
\iint_D\frac{1}{1+x^2}\,dx\,dy
&=\int_0^1\int_0^{1-x}\frac{1}{1+x^2}\,dy\,dx\\
&=\int_0^1\frac{1-x}{1+x^2}\,dx\\
&=\left[\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)\right]_0^1\\
&=\frac\pi4-\frac12\ln2.
\end{aligned}
$$