Uppgift 1

Derivatorna är

$$f'(x)=\frac{x^2e^x-2xe^x}{x^4}=\frac{(x-2)e^x}{x^3}$$

och

$$f''(x)=\frac{(x^2-4x+6)e^x}{x^4}.$$

Den första derivatan är noll då $x=2$. Teckenstudiet visar att $f$ är växande på $(-\infty,0)$, avtagande på $(0,2)$ och växande på $(2,\infty)$. Alltså har $f$ ett lokalt minimum i $x=2$, men inget lokalt maximum. Den andra derivatan saknar nollställen och är positiv för $x\ne0$, så $f$ är konvex på både $(-\infty,0)$ och $(0,\infty)$.

Vidare gäller

$$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=\infty,$$

så $x=0$ är en lodrät asymptot. Dessutom är

$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^3}=\infty,$$

så det finns ingen sned asymptot då $x\to\infty$. Slutligen är

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x^2}=0,$$

så $y=0$ är en vågrät asymptot då $x\to-\infty$.