Uppgift 2

a) Vi skriver om uttrycket som

$$\begin{aligned}\lim_{x\to\infty}x\bigl(\ln(x+1)-\ln x\bigr)&=\lim_{x\to\infty}x\ln\left(1+\frac1x\right)\\&=\lim_{x\to\infty}\ln\left(1+\frac1x\right)^x=\ln e=1.\end{aligned}$$

b) Maclaurinutvecklingarna ger

$$\cos t=1-\frac12t^2+\frac1{24}t^4+\mathcal{O}(t^6)$$

och

$$\ln(1+t)=t-\frac12t^2+\mathcal{O}(t^3),\qquad \sin t=t+\mathcal{O}(t^3).$$

Därför är

$$\cos(2x)-1+2x^2=\frac23x^4+\mathcal{O}(x^6)$$

och

$$\ln(1+x^2)-\sin(x^2)=-\frac12x^4+\mathcal{O}(x^6).$$

Alltså blir gränsvärdet

$$\lim_{x\to0}\frac{\cos(2x)-1+2x^2}{\ln(1+x^2)-\sin(x^2)}=-\frac43.$$