Hela analys · 2016-05-16
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y''+2y'+5y=5x+e^x$.
Bestäm den lösning till differentialekvationen $y'=y^2$ som satisfierar villkoret $y(0)=1$. Bestäm också det största intervallet (i $x$-led) kring punkten $x=0$ i vilket den sökta lösningen existerar.
a) Den karakteristiska ekvationen har rötterna $r_{1,2}=-1\pm2i$. Den homogena lösningen är alltså
$$y_h=e^{-x}(A\cos2x+B\sin2x).$$
Vi söker en partikulärlösning på formen $y_p=ax+b+ce^x$. Insättning ger
$$y_p''+2y_p'+5y_p=5ax+(2a+5b)+8ce^x=5x+e^x.$$
Därmed är $a=1$, $b=-\frac25$ och $c=\frac18$. Den allmänna lösningen är
$$y=e^{-x}(A\cos2x+B\sin2x)+x-\frac25+\frac18e^x.$$
b) Den uppenbara lösningen $y=0$ uppfyller inte villkoret $y(0)=1$. För $y\ne0$ ger separation av variablerna
$$\frac{y'}{y^2}=1,\qquad \frac{dy}{y^2}=dx.$$
Efter integration får vi $-\frac1y=x+C$. Villkoret ger $C=-1$, så
$$y=\frac1{1-x}.$$
Lösningen är definierad så länge $x<1$. Det största intervallet som innehåller $x=0$ är alltså
$$(-\infty,1).$$