Uppgift 4
Låt $a>0$. Tangenten till kurvan $y=\frac1x$ i punkten $\left(a,\frac1a\right)$ och linjerna $y=0$, $x=a$ bildar en triangel. Visa att triangelns area är oberoende av valet av $a$. Bestäm också arean.
Hela analys · 2016-05-16
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Tangenten till kurvan $y=f(x)$ i punkten $(a,f(a))$ har ekvationen
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$
Här är $f(x)=\frac1x$, och därför blir tangenten
$$y=\frac1a-\frac1{a^2}(x-a)=\frac2a-\frac{x}{a^2}.$$
Tangenten skär $x$-axeln då $x=2a$. Triangeln har hörn i $(a,1/a)$, $(a,0)$ och $(2a,0)$. Dess kateter har längderna $a$ och $1/a$, så arean är
$$\frac12a\cdot\frac1a=\frac12.$$
Arean är alltså oberoende av $a$ och lika med $\frac12$.