Uppgift 5

De partiella derivatorna är

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xe^{-xy}-y(x^2+y^2)e^{-xy},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2ye^{-xy}-x(x^2+y^2)e^{-xy}.$$

För en stationär punkt i området måste

$$2x=y(x^2+y^2),\qquad 2y=x(x^2+y^2).$$

Punkten $(0,0)$ ligger inte i området. För $xy\ne0$ ger ekvationerna $x^2=y^2$. Fallet $y=-x$ ger inga reella lösningar, medan $y=x$ ger $x=\pm1$. De stationära punkterna i området är alltså $(1,1)$ och $(-1,-1)$, och

$$f(1,1)=f(-1,-1)=\frac2e.$$

På den inre cirkeln $x=\cos t$, $y=\sin t$ blir

$$h_1(t)=e^{-\cos t\sin t}=e^{-\frac12\sin2t},$$

med största värde $\sqrt e$ och minsta värde $1/\sqrt e$. På den yttre cirkeln $x=2\cos t$, $y=2\sin t$ blir

$$h_2(t)=4e^{-4\cos t\sin t}=4e^{-2\sin2t},$$

med största värde $4e^2$ och minsta värde $4/e^2$. Jämförelse av dessa värden visar att största värdet är $4e^2$ och minsta värdet är $4/e^2$.