Uppgift 1

Funktionen är definierad för $x>0$. Vi har

$$f'(x)=x(2\ln x+1),$$

vilket är noll då $x=e^{-1/2}$. Derivatan är negativ för $0<x<e^{-1/2}$ och positiv för $x>e^{-1/2}$, så $f$ har ett lokalt minimum i $x=e^{-1/2}$ men inget lokalt maximum. Vidare är

$$f''(x)=2\ln x+3,$$

vilket är noll då $x=e^{-3/2}$. Funktionen är konkav för $0<x<e^{-3/2}$ och konvex för $x>e^{-3/2}$.

Dessutom gäller

$$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=0$$

och

$$\lim_{x\to0^+}f'(x)=\lim_{x\to0^+}x(2\ln x+1)=0.$$

Grafen närmar sig därför origo och planar ut då $x\to0^+$. Det finns ingen lodrät asymptot. Slutligen är

$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}x\ln x=\infty,$$

så det finns ingen sned asymptot.