Uppgift 2

a) Vi skriver

$$n^{1/\ln(n^2+1)}=e^{\ln n/\ln(n^2+1)}.$$

Eftersom

$$\frac{\ln n}{\ln(n^2+1)}=\frac1{2+\ln(1+1/n^2)/\ln n}\to\frac12,$$

får vi

$$\lim_{n\to\infty}n^{1/\ln(n^2+1)}=e^{1/2}.$$

b) Utvecklingarna

$$\arctan x=x-\frac13x^3+\mathcal{O}(x^5),\qquad \cos x=1-\frac12x^2+\mathcal{O}(x^4)$$

ger

$$\arctan(x^2)-(\arctan x)^2=\frac23x^4+\mathcal{O}(x^6)$$

och

$$x^2(\cos x-1)=-\frac12x^4+\mathcal{O}(x^6).$$

Alltså är

$$\lim_{x\to0}\frac{\arctan(x^2)-(\arctan x)^2}{x^2(\cos x-1)}=-\frac43.$$