Uppgift 3

a) Den karakteristiska ekvationen $r^2+6r+9=0$ har dubbelroten $r=-3$, så

$$y_h=(C_1x+C_2)e^{-3x}.$$

Vi söker en partikulärlösning på formen $y_p=A\cos x+B\sin x$. Insättning ger

$$y_p''+6y_p'+9y_p=(8A+6B)\cos x+(-6A+8B)\sin x.$$

Jämförelse med högerledet ger

$$8A+6B=1,\qquad -6A+8B=0,$$

så $A=\frac2{25}$ och $B=\frac3{50}$. Alltså är

$$y=(C_1x+C_2)e^{-3x}+\frac2{25}\cos x+\frac3{50}\sin x.$$

b) Efter division med $x$ får vi

$$y'-\frac2x y=x^4+x.$$

En integrerande faktor är $x^{-2}$. Därför är

$$\left(\frac{y}{x^2}\right)'=x^2+\frac1x,$$

så

$$\frac{y}{x^2}=\frac{x^3}{3}+\ln x+C.$$

Villkoret $y(1)=0$ ger $C=-\frac13$. Lösningen är alltså

$$y=\frac{x^5-x^2}{3}+x^2\ln x.$$