Uppgift 5

De partiella derivatorna är

$$\frac{\partial f}{\partial x}=12x^2-3y^2,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-6xy+3.$$

De är båda noll då $4x^2=y^2$ och $2xy=1$. Den enda stationära punkten i triangeln är $(\frac12,1)$, och där är

$$f\left(\frac12,1\right)=2.$$

På randens hörn är

$$f(0,0)=0,\qquad f(0,2)=6,\qquad f(2,2)=14.$$

På sidan $x=0$ är $f(0,t)=3t$, vilket saknar inre kritiska punkter. På sidan $y=2$ är

$$f(t,2)=4t^3-12t+6,$$

som har den inre kritiska punkten $t=1$, där värdet är $-2$. På sidan $y=x$ är

$$f(t,t)=t^3+3t,$$

vilket saknar inre kritiska punkter. Jämförelse ger att största värdet är $14$ och minsta värdet är $-2$.