Uppgift 6
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D x\,dx\,dy$, där $D$ är det begränsade område som ligger mellan linjen $y=x$ och parabeln $y=x^2-x$.
Hela analys · 2016-06-10
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
Linjen och parabeln skär varandra då
$$x=x^2-x,$$
vilket ger $x=0$ och $x=2$. Området är alltså
$$D=\{(x,y):x^2-x\le y\le x,\ 0\le x\le2\}.$$
Därför är
$$\begin{aligned}\iint_Dx\,dx\,dy&=\int_0^2\left(\int_{x^2-x}^{x}x\,dy\right)dx\\&=\int_0^2x\left(x-(x^2-x)\right)dx\\&=\int_0^2(2x^2-x^3)\,dx\\&=\left[\frac23x^3-\frac14x^4\right]_0^2=\frac43.\end{aligned}$$