Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^4+n^2}-\sqrt{n^4+n}\right)$.
(b)
$\lim_{x\to0}\frac{\sin^2 x-\sin(x^2)}{1-\cos(x^2)}$.
Hela analys · 2017-01-25
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Konjugering ger
$$\sqrt{n^4+n^2}-\sqrt{n^4+n}=\frac{n^2-n}{\sqrt{n^4+n^2}+\sqrt{n^4+n}}=\frac{1-1/n}{\sqrt{1+1/n^2}+\sqrt{1+1/n^3}}\to\frac12.$$
b) Maclaurinutvecklingar ger
$$\sin^2x-\sin(x^2)=\left(x^2-\frac13x^4+\mathcal O(x^6)\right)-\left(x^2+\mathcal O(x^6)\right)=-\frac13x^4+\mathcal O(x^6)$$
och
$$1-\cos(x^2)=\frac12x^4+\mathcal O(x^8).$$
Alltså är gränsvärdet $-\frac23$.