Uppgift 2

Vi har

$$f'(x)=e^x-2e^{2x}=e^x(1-2e^x),\qquad f''(x)=e^x-4e^{2x}=e^x(1-4e^x).$$

Derivatan är noll endast då $x=-\ln2$, där funktionen har ett lokalt och globalt maximum med värdet $\frac14$. Andra derivatan är noll då $x=-2\ln2$, som är en inflexionspunkt. Funktionen är konvex på $(-\infty,-2\ln2)$ och konkav på $(-2\ln2,\infty)$.

Funktionen är kontinuerlig överallt och saknar lodräta asymptoter. Vidare är

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=0,$$

så $y=0$ är en vågrät asymptot åt vänster. Då $x\to\infty$ går $f(x)$ mot $-\infty$ och $f(x)/x\to-\infty$, så det finns ingen sned asymptot.