Uppgift 6
Lös följande differentialekvationer
(a)
$x^2y'+y=e^{1/x}$, $y(1)=e$.
(b)
$y''+2y'+2y=\sin 2x$ (ange den allmänna lösningen).
Hela analys · 2017-01-25
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
a) Ekvationen kan skrivas
$$y'+\frac1{x^2}y=\frac1{x^2}e^{1/x}.$$
En integrerande faktor är $e^{-1/x}$. Därmed blir
$$\left(e^{-1/x}y\right)'=\frac1{x^2},$$
så
$$y=\left(C-\frac1x\right)e^{1/x}.$$
Villkoret $y(1)=e$ ger $C=2$, och lösningen är
$$y=\left(2-\frac1x\right)e^{1/x}.$$
b) Den homogena lösningen är $e^{-x}(A\sin x+B\cos x)$. En partikulärlösning är $-\frac1{10}\sin2x-\frac15\cos2x$. Alltså är
$$y=e^{-x}(A\sin x+B\cos x)-\frac1{10}\sin2x-\frac15\cos2x.$$