Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{x\to0}\frac{(x-\sin x)(e^{x^5}-1)}{(2\cos x+x^2-2)^2}$.
(b)
$\lim_{n\to\infty}n\left(\sqrt{n^4+2n}-\sqrt{n^4-3n}\right)$.
Hela analys · 2017-12-20
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Använd Maclaurinutvecklingarna
$$
e^{x^5}=1+x^5+O(x^{10}),\qquad
\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),
$$
samt
$$
\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6).
$$
Då blir
$$
\begin{aligned}
\frac{(x-\sin x)(e^{x^5}-1)}{(2\cos x+x^2-2)^2}
&=\frac{\left(\frac16x^3+O(x^5)\right)\left(x^5+O(x^{10})\right)}
{\left(\frac1{12}x^4+O(x^6)\right)^2}\\
&=\frac{\frac16+O(x^2)}{\frac1{12^2}+O(x^2)}
\longrightarrow24.
\end{aligned}
$$
b) Förläng med konjugatuttrycket:
$$
\begin{aligned}
n\left(\sqrt{n^4+2n}-\sqrt{n^4-3n}\right)
&=\frac{5n^2}{\sqrt{n^4+2n}+\sqrt{n^4-3n}}\\
&=\frac5{\sqrt{1+2n^{-3}}+\sqrt{1-3n^{-3}}}
\longrightarrow\frac52.
\end{aligned}
$$