Uppgift 2
Betrakta funktionen $f(x)=\frac12x-\sin x$ på intervallet $-2\pi\le x\le\pi$. Undersök lokala och globala extrempunkter, konvexitetsegenskaper samt skissera grafen.
Hela analys · 2017-12-20
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
På intervallet $[-2\pi,\pi]$ gäller
$$
f(x)=\frac{x}{2}-\sin x,\qquad f'(x)=\frac12-\cos x.
$$
Derivatan har nollställena $-\frac{5\pi}{3}$, $-\frac\pi3$ och $\frac\pi3$. Tecknet för $f'$ ger lokala minimipunkter i $-\frac{5\pi}{3}$ och $\frac\pi3$, samt lokala maximipunkter i randpunkterna $-2\pi$ och $\pi$ och i $-\frac\pi3$. Det globala minimumet är
$$
f\!\left(-\frac{5\pi}{3}\right)
=-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{5\pi}{6},
$$
och det globala maximumet är
$$
f(\pi)=\frac\pi2.
$$
Dessutom är
$$
f''(x)=\sin x.
$$
Alltså är $f$ konvex på $[-2\pi,-\pi]$ och $[0,\pi]$, samt konkav på $[-\pi,0]$.