Uppgift 4

Funktionen är partiellt deriverbar i hela området. Inre kritiska punkter uppfyller
$$ 0=f_x=2y-\frac{6x}{1+x^2+y^2},\qquad 0=f_y=2x-\frac{6y}{1+x^2+y^2}. $$
Multiplicera den första ekvationen med $y$ och den andra med $x$ och subtrahera. Då fås $x=y$, eftersom $x,y>0$ i det inre. Insättning ger
$$ 2x-\frac{6x}{1+2x^2}=0, $$
vars rötter är $x=-1,0,1$. Endast $(1,1)$ ligger i områdets inre.

På de delar av randen som ligger på koordinataxlarna är funktionen avtagande, så inga ytterligare extremvärden antas där utöver i hörnen. Längs cirkelbågen $x^2+y^2=3$ i första kvadranten sätts
$$ x=\sqrt3\cos t,\qquad y=\sqrt3\sin t,\qquad 0\le t\le\frac\pi2. $$
Då blir
$$ h(t)=f(\sqrt3\cos t,\sqrt3\sin t)=3\sin(2t)-6\ln2. $$
Bågens minimum fås i ändpunkterna och dess maximum för $t=\frac\pi4$, alltså i $\left(\sqrt{3/2},\sqrt{3/2}\right)$.

De fem kandidaterna
$$ (1,1),\ (0,0),\ (\sqrt3,0),\ (0,\sqrt3),\ \left(\sqrt{\frac32},\sqrt{\frac32}\right) $$
har funktionsvärdena
$$ 2-3\ln3,\quad0,\quad-6\ln2,\quad-6\ln2,\quad3-6\ln2. $$
Alltså är det globala maximumet $0$ och det globala minimumet $-6\ln2$.