Uppgift 6

a) Ekvationen är separabel:
$$ (1+x^2)y'-1-y^2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{dy}{1+y^2}=\frac{dx}{1+x^2}. $$
Alltså
$$ \arctan y=\arctan x+C. $$
Villkoret $y(0)=1$ ger $C=\arctan1$, och additionsformeln för tangens ger
$$ y=\tan(\arctan x+\arctan1)=\frac{1+x}{1-x}. $$

b) Det karakteristiska polynomet är
$$ p(r)=r^2+4r+3, $$
med rötterna $-3$ och $-1$. Därför är
$$ y_h=C_1e^{-3x}+C_2e^{-x}. $$
Högerledet $4xe^x$ motiverar substitutionen $y=ze^x$, vilken ger
$$ z''+6z'+8z=4x. $$
Ansatsen $z_p=ax+b$ ger
$$ 8a=4,\qquad6a+8b=0, $$
så $a=\frac12$ och $b=-\frac38$. Alltså är
$$ y_p=\left(\frac{x}{2}-\frac38\right)e^x, $$
och den allmänna lösningen blir
$$ y=C_1e^{-3x}+C_2e^{-x}+ \left(\frac{x}{2}-\frac38\right)e^x. $$