Uppgift 1
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan(3x)}{\ln(1+x)}.$$
(b)
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}.$$
Hela analys · 2018-05-18
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Skriv
$$
\frac{\tan(3x)}{\ln(1+x)}
=3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}\cdot\frac{x}{\cos(3x)\ln(1+x)}.
$$
Standardgränsvärdena ger därför
$$
\lim_{x\to0}\frac{\tan(3x)}{\ln(1+x)}=3.
$$
b) Genom konjugatförlängning får vi
$$
\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt n}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}
=2\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt n}{\sqrt{n+2}+\sqrt n}
=2\frac{\sqrt{1+1/n}+1}{\sqrt{1+2/n}+1}\to2.
$$