Uppgift 5
Beräkna dubbelintegralen
$$ \iint_D (x^2+y^2)\,dx\,dy, $$
där
$$ D=\{(x,y)\mid x,y\ge 0,\ x+y\le 1\}. $$
Hela analys · 2018-05-18
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
Av symmetri gäller
$$
\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy=2\iint_Dx^2\,dx\,dy.
$$
Alltså
$$
\begin{aligned}
\iint_Dx^2\,dx\,dy
&=\int_0^1\int_0^{1-x}x^2\,dy\,dx\
&=\int_0^1x^2(1-x)\,dx=\frac1{12}.
\end{aligned}
$$
Den sökta integralen är därför $2\cdot\frac1{12}=\frac16$.