Uppgift 6

a) En integrerande faktor är $e^{-e^x}$. Då
$$ \left(ye^{-e^x}\right)'=e^{-e^x}e^x, $$
och integration ger
$$ ye^{-e^x}=-e^{-e^x}+C. $$
Alltså är $y=-1+Ce^{e^x}$. Villkoret $y(0)=0$ ger $C=e^{-1}$, så
$$ y=e^{e^x-1}-1. $$

b) Den homogena lösningen till $y''+2y'+2y=0$ är
$$ y_h=e^{-x}(A\cos x+B\sin x). $$
Med ansatsen $y_p=ax^2+bx+c$ fås $a=\frac12$, $b=0$ och $c=-\frac12$. Alla lösningar är därför
$$ y=e^{-x}(A\cos x+B\sin x)+\frac12x^2-\frac12. $$