Uppgift 1
Beräkna gränsvärdena
$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$$
och
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^3)-x^3-x^4}{x^4}.$$
Hela analys · 2019-01-09
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
Första gränsvärdet följer av $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e$:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n=\frac1e.$$
Vidare ger $\sin t=t+O(t^3)$ att $\sin(x^3)=x^3+O(x^9)$, och därför
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^3)-x^3-x^4}{x^4}=-1.$$