Uppgift 4
Bestäm största och minsta värdet till funktionen
$$f(x,y)=x^2-y+\ln(1+\lvert y\rvert)$$
på kvadraten
$$\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid -1\le x\le 1,\ -1\le y\le 1\}.$$
Hela analys · 2019-01-09
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Skriv $f(x,y)=x^2+g(y)$, där $g(y)=-y+\ln(1+\lvert y\rvert)$. För $0\leq y\leq1$ är $g'(y)=-y/(1+y)\leq0$, och för $-1\leq y<0$ är $g'(y)=-1-1/(1-y)<0$. Därför är $g$ störst vid $y=-1$ och minst vid $y=1$.
$$g(-1)=1+\ln2,qquad g(1)=-1+\ln2.$$
Eftersom $0\leq x^2\leq1$ blir minsta värdet $-1+\ln2$, i $(0,1)$, och största värdet $2+\ln2$, i $(\pm1,-1)$.