Uppgift 5
Beräkna dubbelintegralen
$$\iint_D x^2\sin(x^2+y^2)\,dx\,dx$$
där
$$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y>0\text{ och }0\le x^2+y^2\le 4\}.$$
Hela analys · 2019-01-09
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
I polära koordinater är $0\leq r\leq2$ och $0\leq\theta\leq\pi$. Därför
$$\iint_Dx^2\sin(x^2+y^2)\,dx\,dy=\left(\int_0^2r^3\sin(r^2)\,dr\right)\left(\int_0^\pi\cos^2\theta\,d\theta\right).$$
Den andra faktorn är $\pi/2$. Med $t=r^2$ fås den första faktorn
$$\frac12\int_0^4t\sin t\,dt=\frac12(\sin4-4\cos4).$$
Alltså är integralen
$$\frac\pi4(\sin4-4\cos4).$$