Uppgift 4
Bestäm största och minsta värdet till funktionen
$$f(x,y)=x^2+2y+y^2$$
på ringområdet
$$\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\frac{1}{2}\le x^2+y^2\le 2\right\}$$
och ange samtliga punkter där dessa värden antas.
Hela analys · 2019-08-16
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Gradienten är
$$\nabla f(x,y)=(2x,2y+2),$$
så den inre kritiska punkten är $(0,-1)$, där $f(0,-1)=-1$. På cirkeln med radie $1/\sqrt2$ är
$$f=\frac12+\sqrt2\sin\theta,$$
och på cirkeln med radie $\sqrt2$ är
$$f=2+2\sqrt2\sin\theta.$$
Alltså är det globala minimumet
$$-1\quad\text{vid }(0,-1),$$
och det globala maximumet
$$2+2\sqrt2\quad\text{vid }(0,\sqrt2).$$