Uppgift 1

(a) Vi skriver

$$ \sqrt[n]{e^{2n}+2^{3n}} =8\exp\!\left(\frac{1}{n}\ln\!\left(1+\left(\frac{e^2}{8}\right)^n\right)\right). $$

Eftersom $0<e^2/8<1$ går exponenten mot $0$ då $n\to\infty$. Gränsvärdet är alltså $8$.

(b) Standardutvecklingarna

$$ \ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+O(t^3),\qquad \sin t=t-\frac{t^3}{6}+O(t^5) $$

ger

$$ \frac{2\ln(1+x^3)-\ln(1+2x^3)}{3\sin(x^2)-\sin(3x^2)} =\frac{x^6+O(x^9)}{4x^6+O(x^{10})} =\frac{1+O(x^3)}{4+O(x^4)}\longrightarrow\frac14. $$