Uppgift 2

För $f(x)=x^3e^x$ gäller

$$ f'(x)=x^2(x+3)e^x,\qquad f''(x)=x(x^2+6x+6)e^x. $$

Vidare är $\lim_{x\to-\infty}x^3e^x=0$, så $y=0$ är en horisontell asymptot åt vänster. Funktionen saknar asymptot då $x\to\infty$.

Teckenstudiet av $f'$ visar att $x=-3$ är ett lokalt och globalt minimum, med värdet

$$ f(-3)=-\frac{27}{e^3}. $$

Något globalt maximum finns inte. Andraderivatan är noll för $x=-3-\sqrt3$, $x=-3+\sqrt3$ och $x=0$. Funktionen är konvex på

$$ [-3-\sqrt3,-3+\sqrt3]\quad\text{och}\quad[0,\infty), $$

och konkav på de återstående intervallen. Dessa tre punkter är inflektionspunkter och informationen ger den efterfrågade skissen.