Uppgift 3
Bestäm största och minsta värde till funktionen $f(x,y)=(x+y)^2-6xy^2$ i området $x,y\ge 0$, $x+y\le 3$. Ange även i vilka punkter respektive extremvärde antas.
Hela analys · 2021-01-18
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
Funktionen $f(x,y)=(x+y)^2-6xy^2$ är kontinuerlig på det kompakta området $D$. Inre stationära punkter uppfyller
$$ \begin{cases} 0=f_x=2(x+y)-6y^2,\\ 0=f_y=2(x+y)-12xy. \end{cases} $$
Subtraktion ger $y=0$ eller $y=2x$. Endast det senare fallet ger en inre punkt, $(1/4,1/2)$.
På randen $y=0$ respektive $x=0$ är $f=t^2$. Den tredje sidan parametriseras med $x=3-t$, $y=t$, $0\le t\le3$, och då är
$$ h(t)=f(3-t,t)=9-18t^2+6t^3,\qquad h'(t)=18t(t-2). $$
Det ger randpunkten $(1,2)$. Jämförelse med hörnen ger
$$ \begin{array}{c|ccccc} (x,y)&(0,0)&(3,0)&(0,3)&(1,2)&(1/4,1/2)\\ \hline f(x,y)&0&9&9&-15&3/16. \end{array} $$
Minsta värdet är alltså $-15$ i $(1,2)$ och största värdet är $9$ i $(3,0)$ och $(0,3)$.