Uppgift 4

Sätt $u=x+y$ och $v=x-y$. Då motsvaras $D$ av

$$ E=\{(u,v)\mid0\le u\le3,\ -1\le v\le1\}, $$

och $x=(u+v)/2$, $y=(u-v)/2$. Funktionaldeterminanten är

$$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix}\frac12&\frac12\\ \frac12&-\frac12\end{vmatrix} =-\frac12. $$

Eftersom $x^2-y^2=uv$ får vi

$$ \begin{aligned} \iint_D(x+y)e^{x^2-y^2}\,dx\,dy &=\frac12\int_0^3\int_{-1}^1ue^{uv}\,dv\,du\\ &=\frac12\int_0^3(e^u-e^{-u})\,du\\ &=\frac12\left[e^u+e^{-u}\right]_0^3 =\frac{e^3+e^{-3}}2-1. \end{aligned} $$