Uppgift 5
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $y''-3y'+2y=e^x$ som uppfyller villkoret $y(0)=y'(0)=0$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $xy'=2x^2+2y$ (för $x>0$) som uppfyller villkoret $y(1)=1$.
Hela analys · 2021-01-18
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
(a) Den karakteristiska ekvationen för den homogena ekvationen är $r^2-3r+2=0$. Därför är
$$ y_h=Ae^x+Be^{2x}. $$
Sätt $y_p=ze^x$. Insättning ger $z''-z'=1$, och valet $z=-x$ ger $y_p=-xe^x$. Alltså
$$ y=-xe^x+Ae^x+Be^{2x}. $$
Villkoren $y(0)=0$ och $y'(0)=0$ ger $A=-1$ och $B=1$. Lösningen är
$$ y(x)=e^{2x}-(x+1)e^x. $$
(b) Skriv ekvationen som $y'-2y/x=2x$. En integrerande faktor är $x^{-2}$, och därför
$$ \left(\frac{y}{x^2}\right)'=\frac2x. $$
Villkoret $y(1)=1$ ger
$$ y(x)=x^2+2x^2\ln x. $$