Uppgift 1

(a) Förlänger vi med konjugatet får vi
$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}(\sqrt{2n^2+3n}-\sqrt{2n^2-n}) &=\lim_{n\to\infty}\frac{4n}{\sqrt{2n^2+3n}+\sqrt{2n^2-n}}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac4{\sqrt{2+3/n}+\sqrt{2-1/n}}=\frac4{\sqrt2+\sqrt2}=\sqrt2. \end{aligned}$$
(b) Med standardutvecklingen $\ln(1+t)=t-t^2/2+O(t^3)$ då $t\to0$ får vi
$$\begin{aligned} \frac{\ln(1+4x^2)-(\ln(1+2x))^2}{x^3} &=\frac{(4x^2+O(x^4))-(2x-2x^2+O(x^3))^2}{x^3}\\ &=\frac{(4x^2+O(x^4))-((2x)^2-2(2x)(2x^2)+O(x^4))}{x^3}\\ &=\frac{8x^3+O(x^4)}{x^3}=8+O(x)\to8 \end{aligned}$$
då $x\to0$.