Uppgift 3

Funktionen är kontinuerlig på en kompakt mängd, samt partiellt deriverbar överallt, så enligt en känd sats finns globala maximum och minimum och dessa antas i inre stationära punkter eller på randen.

Vi börjar med att bestämma de stationära punkterna. Vi får
$$\begin{cases}0=\frac{\partial f}{\partial x}=2x\\0=\frac{\partial f}{\partial y}=4y-2\end{cases}\iff\begin{cases}x=0\\y=1/2.\end{cases}$$
Den funna punkten $(x,y)=(0,1/2)$ uppfyller $x^2+y^2<4$, så det är en inre punkt till området, och därmed en kandidat.

Vi undersöker nu randen $x^2+y^2=4$, som är en cirkel med radie $2$. Vi parametriserar denna
$$\begin{cases}x=2\cos t\\y=2\sin t\end{cases}\qquad t\in\mathbb R.$$
Sätter vi in detta i funktionen får vi
$$h(t)=f(2\cos t,2\sin t)=4\cos^2t+8\sin^2t-4\sin t=4+4\sin^2t-4\sin t.$$
Vi får $h'(t)=8\sin t\cos t-4\cos t=4\cos(t)(2\sin(t)-1)$ så $h'(t)=0$ om $\cos(t)=0$ eller $\sin t=1/2$, vilket ger $t=\pi/2$, $t=3\pi/2$, $t=\pi/6$ eller $t=5\pi/6$, inom ett varv av parametriseringen, så vi får kandidatpunkterna $(0,\pm2)$ respektive $(\pm\sqrt3,1)$. Vi jämför funktionsvärdena:
$$\begin{array}{c|cccc}(x,y)&(0,1/2)&(\pm\sqrt3,1)&(0,2)&(0,-2)\\\hline f(x,y)&-1/2&3&4&12\end{array}$$
så minsta värdet är $f(0,1/2)=-1/2$ och det största $f(0,-2)=12$.