Uppgift 4
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D e^{3-y^2}\,dx\,dy$, där
$$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 1\le y\le 2\text{ och }y\ge\lvert x\rvert\}.$$
Hela analys · 2021-05-18
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
Genom att rita en figur av området $D$ ser man att det kan beskrivas av olikheterna $1\le y\le2$ och $-y\le x\le y$, så
$$\begin{aligned}
\iint_De^{3-y^2}\,dx\,dy
&=\int_1^2\left(\int_{-y}^ye^{3-y^2}\,dx\right)dy
=\int_1^22ye^{3-y^2}\,dy\\
&=[t=y^2,\ dt=2y\,dy]=\int_1^4e^{3-t}\,dt
=[-e^{3-t}]_{t=1}^{t=4}=e^2-e^{-1}.
\end{aligned}$$