Hela analys · 2021-05-18
Beräkna volymen av den rotationskropp som erhålls om det ändliga område som begränsas av koordinataxlarna, kurvan $y=\frac{2}{\sqrt{4+x^2}}$ och linjen $x=2$ roterar kring $x$-axeln.
Beräkna volymen av den rotationskropp som fås om området i (a) istället roterar kring $y$-axeln.
(a) Området ges av
$$0\le y\le\frac2{\sqrt{4+x^2}},\qquad0\le x\le2,$$
så med formeln för rotationsvolym får vi att volymen $V_1$ ges av
$$\begin{aligned}
V_1&=\pi\int_0^2\left(\frac2{\sqrt{4+x^2}}\right)^2dx
=\pi\int_0^2\frac1{1+(x/2)^2}\,dx\\
&=\left[t=x/2,\ dt=\frac12dx\right]
=2\pi\int_0^1\frac1{1+t^2}\,dt=2\pi[\arctan(t)]_{t=0}^{t=1}=\frac{\pi^2}2.
\end{aligned}$$
(b) Med formeln för cylindriska skal (rörformiga element) får vi
$$\begin{aligned}
V_2&=2\pi\int_0^2x\frac2{\sqrt{4+x^2}}\,dx=[u=4+x^2,\ du=2x\,dx]\\
&=2\pi\int_4^8u^{-1/2}\,du=2\pi\left[\frac{u^{1/2}}{1/2}\right]_{u=4}^{u=8}=8\pi(\sqrt2-1).
\end{aligned}$$
Anmärkning: Det går också bra att beräkna volymen med skivformeln, vilken ger att $V_2=\pi\int_0^{1/\sqrt2}2^2\,dy+\pi\int_{1/\sqrt2}^1x^2\,dy$ (där $x^2=4(y^{-2}-1)$).