Uppgift 6

(a) Vi multiplicerar den linjära differentialekvationen med den integrerande faktorn $e^{x^2/2}$ och får då
$$(ye^{x^2/2})'=x^3e^{x^2/2}.$$
Integrerar vi båda sidor, får vi i högerledet
$$\begin{aligned} \int x^3e^{x^2/2}\,dx &=[t=x^2/2,\ dt=x\,dx]=\int2te^t\,dt=[\text{P.I.}]\\ &=2te^t-\int2e^t\,dt=2(t-1)e^t+C=(x^2-2)e^{x^2/2}+C \end{aligned}$$
vilket ger $ye^{x^2/2}=(x^2-2)e^{x^2/2}+C$, så $y=x^2-2+Ce^{-x^2/2}$. Begynnelsevillkoret $y(0)=1$ ger nu att $C=3$, så $y(x)=x^2-2+3e^{-x^2/2}$.

(b) Differentialekvationen $y'+xy-xy^2=0$ är separabel. Om vi skriver om den som $y'/(y(y-1))=x$ och integrerar båda sidor får vi, med hjälp av partialbråksuppdelningen $\frac1{y(y-1)}=\frac1{y-1}-\frac1y$, att $\ln\left\lvert\frac{y-1}y\right\rvert=\frac{x^2}2+C$, vilket ger $(y-1)/y=Ae^{x^2/2}$, där $A=\pm e^C$. Utnyttjar vi begynnelsevillkoret $y(0)=2$ får vi $A=1/2$, vilket ger $y=2/(2-e^{x^2/2})$.