Uppgift 1

(a) Maclaurinutvecklingarna

$$ \sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5),\qquad \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5) $$

ger

$$ \arctan(2x)-\sin(2x)=-\frac86x^3+O(x^5) $$

och

$$ \arctan(3x)-\sin(3x)=-\frac{27}{6}x^3+O(x^5). $$

Därför är

$$ \lim_{x\to0}\frac{\arctan(2x)-\sin(2x)}{\arctan(3x)-\sin(3x)}=\frac8{27}. $$

(b) För $n\ge2$ gäller

$$ 1\le\frac{\ln(n^2+n)}{\ln(n^2-n)} \le\frac{\ln(2n^2)}{\ln(\frac12n^2)} =\frac{1+\frac{\ln2}{\ln(n^2)}}{1-\frac{\ln2}{\ln(n^2)}}. $$

Högerledet går mot $1$ då $n\to\infty$. Instängningslagen ger därför gränsvärdet $1$.