Uppgift 3
Bestäm volymerna av de två kroppar som uppstår då området
$$D=\{(x,y)\mid y\ge x^2\text{ och }x\ge y^3\}$$
får rotera runt $x$- och $y$-axlarna.
Hela analys · 2021-12-17
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösning
Kurvorna skär varandra i $(0,0)$ och $(1,1)$. Vid rotation kring $x$-axeln blir
$$ \begin{aligned} V_x &=\pi\int_0^1\left(x^{1/3}\right)^2\,dx -\pi\int_0^1\left(x^2\right)^2\,dx\\ &=\pi\left[\frac35x^{5/3}-\frac15x^5\right]_0^1 =\frac{2\pi}{5}. \end{aligned} $$
Vid rotation kring $y$-axeln är $x=y^{1/2}$ respektive $x=y^3$. Därför
$$ \begin{aligned} V_y &=\pi\int_0^1\left(y^{1/2}\right)^2\,dy -\pi\int_0^1\left(y^3\right)^2\,dy\\ &=\pi\left[\frac12y^2-\frac17y^7\right]_0^1 =\frac{5\pi}{14}. \end{aligned} $$