Uppgift 4

De kritiska punkterna uppfyller

$$ \begin{cases} 0=f_x=-\frac{4x}{(x^2+y^2)^2}+y,\\ 0=f_y=-\frac{4y}{(x^2+y^2)^2}+x. \end{cases} $$

Ekvationen $yf_x-xf_y=0$ ger $x=\pm y$. Fallet $x=y$ ger $(1,1)$ och $(-1,-1)$, där $f=2$, medan $x=-y$ inte ger någon kritisk punkt i området.

På den inre randen är

$$ h_1(t)=f(\cos t,\sin t)=2+\frac12\sin(2t), $$

så $f$ varierar mellan $3/2$ och $5/2$. På den yttre randen är

$$ h_2(t)=f(2\cos t,2\sin t)=\frac12+2\sin(2t), $$

vilket varierar mellan $-3/2$ och $5/2$. Alltså är största värdet $5/2$ och minsta värdet $-3/2$.