Uppgift 6

(a) Ekvationen är separabel:

$$ y'+y^2=xy^2\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{dy}{y^2}=(x-1)\,dx. $$

Integration ger $-1/y=x^2/2-x+C$. Villkoret $y(0)=1$ ger $C=-1$, och därför

$$ y(x)=\frac{1}{1+x-\frac12x^2}=\frac{2}{2+2x-x^2}. $$

(b) Den karakteristiska ekvationen $r^2-4r+4=0$ har dubbelroten $r=2$, så

$$ y_h=(Cx+D)e^{2x}. $$

Sätt $y=ze^{2x}$. Då blir differentialekvationen $z''=1$, och vi kan välja $z_p=x^2/2$. Den allmänna lösningen är alltså

$$ y(x)=(Cx+D)e^{2x}+\frac12x^2e^{2x}. $$