Uppgift 4

Vi observerar först, genom att sätta $t$ eller $s$ lika med noll, att $f(0,0)=0$. Vi deriverar därefter vänsterleden i sambanden $f(t,2t)=3\sin t$ och $f(2s,s)=2s$, och får med hjälp av kedjeregeln
$$\begin{cases}\frac d{dt}f(t,2t)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,2t)\cdot1+\frac{\partial f}{\partial y}(t,2t)\cdot2,\\\frac d{ds}f(2s,s)=\frac{\partial f}{\partial x}(2s,s)\cdot2+\frac{\partial f}{\partial y}(2s,s)\cdot1.\end{cases}$$
Om vi i stället deriverar högerleden får
$$\begin{cases}\frac d{dt}(3\sin t)=3\cos t,\\\frac d{ds}f(2s,s)=2.\end{cases}$$
Vi sätter högerleden lika med vänsterleden och samtidigt $t=s=0$, och erhåller då ekvationssystemet
$$\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)+2\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=3,\\2\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=2,\end{cases}$$
med lösningen $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1/3$ och $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=4/3$. Eftersom vi nu har både funktionens och derivatornas värden i origo kan vi bestämma tangentplanet till
$$z=f(0,0)+\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)x+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)y=\frac13x+\frac43y,$$
dvs $z=\frac13x+\frac43y$.