Uppgift 6

a) Ekvationen är linjär. En integrerande faktor är $I=e^{x^2}$, vilket ger
$$y'+2xy=e^{-x^2}\iff e^{x^2}y'+e^{x^2}2xy=1,$$
där vi nu kan skriva om vänsterledet som en derivata:
$$D(e^{x^2}y)=1\iff e^{x^2}y=x+C.$$
Bivillkoret $y(0)=1$ ger att $e^0\cdot1=0+C$, dvs $C=1$. Vi får alltså lösningen
$$y=(x+1)e^{-x^2}.$$
b) Den karakteristiska ekvationen är
$$r^2+2r+2=0$$
med de komplexa rötterna $r_\pm=-1\pm i$. Den homogena ekvationen har därför lösningen
$$y_h=Ae^{-x}\cos x+Be^{-x}\sin x.$$
En partikulärlösning kan sökas med ansatsen $y_p=ax^2+bx+c$, vilket ger $y'=2ax+b$ och $y''=2a$. Insatt i ekvationen får vi
$$y_p''+2y_p'+2y_p=2a+2(2ax+b)+2(ax^2+bx+c)$$
som alltså ska sättas lika med högerledet $x^2+x-1$. Om vi nu jämför koefficienterna för de olika termerna får vi ekvationerna
$$2a=1,\quad4a+2b=1,\quad2a+2b+2c=-1,$$
med lösningarna $a=1/2$, $b=-1/2$, $c=-1/2$. Detta ger partikulärlösningen $y_p=\frac12x^2-\frac12x-\frac12$.

Vi får alltså sammantaget den allmänna lösningen $y=y_h+y_p=$
$$Ae^{-x}\cos x+Be^{-x}\sin x+\frac12x^2-\frac12x-\frac12.$$